Final Theories. Udledning af teorien.

Hjem \| Bloggen \| Bøger \| Links Sprog: Engelsk	Kommentarer: post@finaltheories.com

Udledning af teorien \| Masse og energi \| Evaluering af teorien \| Test af teorien	\| Bevis: Den specielle relativitetsteori er forkert
Den relativistiske masse Vi betragter et legeme x·y·z i hvile i forhold til nulpunktsfelt, med hvilemassen m₀ = ρ·x·y·z, hvor ρ er massefylden og x, y og z er koordinaterne for legemet i de restpektive retninger, når legemet er i hvile i nulpunktsfeltet. Vi giver nu legemet hastigheden v i plus x retningen. På grund af længdekontraktionen bliver volumet lig med x'·y·z = x(1 ̶ v₂/c₂)^½·y·z. Da antallet af elementarpartikler legemet består af ikke ændres, forbliver legemets masse uændret. Men da volumet bliver mindre, må massefylden være større. Vi betegner den nye massefylde med ρ', som bliver lig med hvilemassen divideret med det nye volumen: ρ' = m₀/[x'·y·z] = ρ·x·y·z/[x(1 ̶ v²/c²)^½·y·z] = ρ/(1 ̶ v²/c²)^½ = ρ(1 ̶ v²/c²)^-½. Indsætter vi udtrykket m₀/(x·y·z) for ρ, finder vi ρ'= m₀/[x'·y·z] = m₀(1 ̶ v²/c²)^-½/[x·y·z] hvoraf ρ'x·y·z = m₀(1 ̶ v²/c²)^-½. Sætter vi ρ'x·y·z lig med massen m ved hastigheden v, finder vi m = ρ'x·y·z = m₀(1 ̶ v²/c²)^-½, hvoraf vi finder Einsteins relativistiske masse: m = m₀(1 ̶ v²/c²)^-½. Det skal bemærkes, at massen m er massen af et legeme med det oprindelige rumfang, x·y·z. Det oprindelige legeme med massen m₀ vil på grund af hastigheden v i x-retningen krybe med faktoren (1 ̶ v²/c²)^½, så det under bevægelsen har koordinaterne x'·y·z og derfor massen m' = ρ'·x'·y·z = ρ(1 ̶ v²/c²)^−½· x(1 ̶ v²/c²)^½·y·z = ρ· x·y·z = m₀ Det betyder, at massen forbliver den samme, medens massefylden bliver større på grund af den reducerede størrelse. I forbindelse med cyklotroner er det derfor nødvendigt at øge feltstyrken, så antallet af feltlinier, der påvirker legemet stiger, når omfanget af legemet bliver mindre, hvis legemets bane skal opretholdes.	Den relativistiske masse
Til toppen
Masse og energi er ækvivalente størrelser: E = mc² På grund af vægtfyldens og dermed masses hastighedsafhængighed defineres kraften som impulsændring pr. tidsenhed . Det arbejde kraften F_s udfører på en partikel, som flyttes strækningen ds langs partiklens banekurve, er lig med forøgelsen af partiklens kinetiske energi, dE_k dE_k = F_sds. Ved hjælp af kædereglen finder vi, at , hvoraf dE_k = F_sds = vd(mv) = v²dm + mvdv. Indsættes udtrykket for den relativistiske masse , fås . Integrerer vi fra 0 til v og definerer at E_k = 0 for v = 0, finder vi følgende udtryk for den kinetiske energi: , hvor m₀c² er partiklens hvileenergi. Partiklens totale energi, E, er dermed summen af dens hvileenergi og den kinetiske energi, E_k: E = m₀c²+ E_k = mc². Vi finder dermed, at en partikels totale energi er dens masse m gange kvadratet på lysets hastighed, c², det vil sige: E = mc². Ligningen kan også skrives som m_i= E/c², hvor m_i betegnes som inertimassen. Det fremgår heraf, at masse og energi er to sider af samme sag. Da ε₀μ₀ = 1/c², får vi m_i = ε₀μ₀E. hvor ε₀erden electriske og μ₀ den magnetiske konstant. Heraf ses det, at massen såvel som inertimassen er et resultat af feltets elektriske og magnetiske energi. Da SI-enheden for massen er [V∙C∙F/m∙H/m], hvilket vil sige: Volt x Coulomb x Farad/meter x Henry/meter er der meget der tyder på, at massen er af elektromagnetisk natur. Inertimassen m_i= E/c²(= m) optræder som en hvilken som helst anden masse. Det betyder, at den udviser inerti når den udsættes for en ydre kraft, som når den for eksempel påvirkes af gravitationskræfter, og inertimassen besidder som enhver anden masse både potentiel og kinetisk energi. Dette gælder, uanset om inertimassen er opstået som følge af en energiforøgelse af en eksisterende masse, eller om der er tale om elektromagnetisk stråling. At det gælder for elektromagnetisk stråling kan ses af, at energien af en foton ifølge kvanteteorien er lig E = h∙f, hvor h er Plancks konstant og f er frekvensen af strålingen. Da E = mc² finder vi, at E = h∙f = mc² og dermed at m_i = h∙f / c².	Masse og energi er ækvivalente størrelser
Til toppen
Sorte huller i det euklidiske rum Et sort hul er et område af rummet, i hvilket gravitationsfeltet er så kraftigt, at intet - selv ikke lyset - kan undslippe dets træk. For at beregne undvigelseshastigheden i et euklidisk rum, betragter vi et tungt legeme med massen M, som er anbragt i nulpunktet af et koordinatsystem. Et andet legeme med inertimassen m_i, starter i afstanden r fra nulpunktet med hastigheden v. Hvis legemet skal undslippe til uendelig, skal det have en tilstrækkelig kinetisk energi ½m_iv²til, at kunne opveje den gravitationelle potentielle energy Gm_iM/ r: m_iv²/2 = Gm_iM/ r, hvor G er gravitationskonstanten. For enhver værdi af v er der en kritisk værdi af r, så en partikel med hastigheden v lige netop er i stand til at undslippe til uendelig, hvis r ≥ 2GM / v². Når hastigheden er lig med lysets hastighed c, får vi radius for et sort hul med massen M, hvorfra intet, end ikke lyset, kan undslippe, r_{Schwarzschild} =2GM / c². Værdien af radius af et sort hul kaldes Schwarzschilds radius.	Sorte huller i det euklidiske rum
Til toppen
Gravitationel rødforskydning og blåforskydning Lys og andre former for elektromagnetisk stråling, som stammer fra en kilde der er placeret i et stærkt gravitationsfelt, vil have en længere bølgelængde end stråling der udsendes fra en kilde der befinder sig i et område med et svagere gravitationsfelt. Da den langbølgede ende af det synlige elektromagnetiske spekter er rød, betegnes forlængelsen af strålingens bølgelængde, som en rødforskydning. Blåforskydning er derimod en forkortelse af bølgelængden af den udsendte stråling, eller en forøgelse af strålingens frekvens. Navnet stammer fra, at den kortbølgede ende af det synlige spekter er blå eller violet. Rødforskydning og blåforskydning kan udledes ved at betragte energien udenfor og inden i et gravitationsfelt. Vi betragter først energien af den elektromagnetisk stråling, når den befinder sig i et område, som ikke er påvirket af et gravitationsfelt. Hvis en foton har hastigheden c og inertimassen m_i, vil dens samlede energi være lig med E = m_ic². Hvis fotonen bevæger sig ind i et gravitationsfelt med et gravitationspotentiale lig med Gm_iM/ r, hvor G er gravitationskonstanten, M er legemets masse og r er afstanden til massecentrum af det tunge legeme, vil den samlede energi ændres en smule. Vi betegner den nye energi med E', hvormed E' = m_ic² + Gm_iM/ r. Da fotonens energi er en funktion af afstanden r under hele forløbet igennem gravitationsfeltet, vil energien E' kunne skrives som . Ifølge kvanteteorien er energien af et strålingskvant lig med Plancks konstant h gange frekvensen f E = h ∙ f . Heraf kan vi finde frekvensen i et gravitationsfelt f ' udtrykt ved den oprindelige frekvens f, så . Vi finder dermed at rød- eller blåforskydningen er lig med hvor . Fortegnet på z bestemmer, om der er tale om en rødforskydning eller en blåforskydning.	Gravitationel rødforskydning og blåforskydning
Til toppen
Urene går langsommere i et gravitationsfelt Da de elektromagnetiske kvanter ændrer sig under påvirkning af et gravitationsfelt, er det forventeligt, at også mekaniske ure bliver påvirket af et gravitationsfelt. Hvis vi anvender en stabil oscillator til vores ur, og lader dens frekvens repræsentere en tidsenhed, vil frekvensen som vi tidligere har set gå langsommere, når oscillatoren bliver påvirket af et gravitationsfelt. Det betyder, at uret går langsommere i et gravitationsfelt. Vi kan som tidligere udtrykke energien af en oscillator som befinder sig i det tomme rum som E = m_ic², og som E', når fotonen befinder sig i et gravitationsfelt. Fra tidligere har vi følgende udtryk for E', , hvor Gm_iM / r er gravitationspotentialet. Da et strålingskvant indeholder energien E = h ∙ f , hvor f er frekvensen af den udsendte stråling, og h er Plancks konstant, kan sammenhængen mellem frekvenserne skrives som . Da en svingning repræsenterer en tidsenhed og frekvensen er ændret, vil uret dermed gå langsommere. Vi finder derfor følgende sammenhæng mellem tiden i et gravitationsfelt t' og tiden i nulpunktsfeltet t, . Det ses, at urene går langsommere, når de befinder sig i et gravitationsfelt.	Urene går langsommere i et gravitationsfelt
Til toppen
Energi og masse afbøjes i et gravitationsfelt Eksistensen af lukkede universer og sorte huller i et fladt euklidisk rum er betinget af, at såvel masse som energi afbøjes i et gravitationsfelt. Dette kan vises på baggrund af, at et legemes inertimasse m_i er lig med den energi legemet indeholder. Hvis tilvæksten af energi beløber sig til E, forøges inertimassen med m_i= E/c². Det medfører, at hvis der er en forøgelse af inertimassen, er der en tilsvarende forøgelse af den gravitationelle masse. En forøgelse af inertimassen vil dermed medføre en tilsvarende forøgelse af den potentielle energi i et gravitationsfelt, ghm_i = ghE/c², hvor g er gravitationskraftens acceleration, m_ier inertimassen og h er højden. Dette gælder både for energi og legemer. Fig. 32. Afbøjning af elektromagnetisk stråling i et gravitationsfelt. Ved hjælp af fotonernes inertimasse kan vi beregne afbøjningen af elektromagnetisk stråling i et gravitationsfelt fra et massivt legeme. Elektromagnetisk stråling fra et fjernt objekt vil, når strålingen passere gravitationsfeltet fra et himmellegeme, beskrive en karakteristisk hyperbolsk bane under indflydelse af en centralkraft. Afbøjningen af fotonerne er vist på figuren, hvor afbøjningen for forståelsens skyld er meget overdrevet. Vi betegner den mindste afstand imellem strålingen og massecentrum af himmellegemet med r, asymptotens vinkel med φ og hyperblens excentricitet med e. Her er sammenhængen mellem φ og e lig med cosφ = 1/e, hvor e = c/a. Strålingens afbøjningsvinkel, α, er vist i figuren, og er α = π - 2φ. Af loven om energiens og impulsmomentets bevarelse kan vi finde den samlede energi E som funktion af r, , hvor μ = m_iM /(m_i + M) ≈ m_i er partiklernes reducerede masse, ½∙μ(dr/dt)² er den radielle kinetiske energi, L²/(2μr²) er centrifugalpotentialet og Gm_iM /r er gravitationspotentialet. En løsning til den radielle energiligning er r = p /(e∙cosθ +1), hvor p = L²/Gm_iMμ. Den totale energi E findes lettest ved punktet C, hvor θ = 180⁰, og dermed r = p /(1 - e) og dr/dt = 0. Indsættes disse udtryk i energiligningen får vi . Indsættes udtrykket for p og sættes μ ≈ m_i, finder vi . For et energikvant med massen m_i, den totale energi E og impulsmomentet L med hensyn til himmellegemets centrum, er ekscentriciteten lig med . Bevægelses konstanterne E og L findes nemmest ved punktet C. Angiver vi partiklens hastighed ved dette punkt som v, og erstatter vi den reducerede masse med m_i, får vi , hvor impulsmomentet er lig med L = m_irv. Da fotonernes hastighed er lig med lysets hastighed c - og derfor, med mindre der er tale om et sort hul, meget større end undvigelseshastighed v_e = (2GM /r)^½ved punktet C - kan vi se bort fra ændringen af fotonernes hastighed og antage, at gravitationsfeltet kun ændrer hastighedens retning. Sætter vi v = c, hvor c er fotonernes hastighed i det "tomme rum", kan excentriciteten skrives som . Som forventet ophæver fotonernes masser hinanden. Værdien af excentriciteten er afgørende for, om den elektromagnetiske stråling er i stand til undslippe himmellegemets gravitationsfelt, eller om den vil blive indfanget. Hvis e ≥ 1 vil himmellegemets masse ikke være stor nok til at fastholde lyset, som dermed vil beskrive en hyperbel - eller en parabel når e =1. Det ses, at e =1 indtræffer, når r = 2GM / c². Denne værdi af radius kaldes Schwarzschilds radius, og er radius mindre end denne værdi, vil e <1, og den elektromagnetiske stråling vil beskrive en ellipse. Strålingen vil således ikke være i stand til at undslippe objektets gravitationsfelt. Objektet kan her være et sort hul eller et helt univers. Er der tale om et univers, betegnes det som et lukket univers. Ser vi på de tilfælde, hvor e er meget større end 1, og 2GM / r dermed er meget mindre end c², kan excentriciteten forenkles til e = c²r / (GM). Strålingens afbøjningsvinkel, α, kan ved hjælp af sammenhængene α = π − 2φ, cosφ = 1/e og e = c²r/(GM), skrives som . Da x = GM /(c²r) << 1, kan cos^-1x udvikles i en Taylorrække: . Idet vi kun tager det første udtryk inden i parentesen i betragtning, bliver afbøjningsvinkel lig med . Lys, der passerer langs med et legeme med massen M, vil således blive udsat for en vinkelafbøjning, α, der samtidig medfører en formindskelse af gravitationspotentialet. Her er G gravitationskonstanten, M er massen af himmellegemet, c er lysets hastighed og r er afstanden mellem lyset og legemets massecentrum.	Energi og masse afbøjes i et gravitationsfelt
Til toppen © J. Balslev 2010	post@finaltheories.com